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图论 最短路问题

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dijkstra 所有边权都是正数

朴素版 O(n^2)

n:节点个数
m:边的个数

n^2~m (同一数量级)
稠密图: 用邻接矩阵存储d[t][j]表示从t到j的权重

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int g[N][N];//权重
int dist[N];//到一号点的距离
bool st[N];//表示哪些点的最短距离已经确定
void dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[1]=0;//初始化一号点的距离为0

    for(int i=1;i<=n;i++){
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j]&&(dist[t]>dist[j||t==-1])){
                t=j;
            }
        }

        st[t]=true;//最短距离已经确定

        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(dist[j]>dist[t]+g[t][j]){
                dist[j]=dist[t]+g[t][j];
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    //读入的时候 存在重边 和自环
    while(m--){
        cin>>x>>y>>z;
        g[x][y]=min(g[x][y],z);//取长度最短的边
    }
    dijkstra();
    

}

堆优化版O(m*logn)

n~m (同一数量级)
稀疏图: 用邻接表存储

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#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int h[N],e[N],ne[N],w[N],idx;
int n,m,s;
void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b;
    w[dix]=c;//权重为c
    ne[a]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
//拓展 遍历每个节点的出度
void dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
    //PII: distance 序号
    heap.push({0,s});
    dist[s]=0；

    while(heap.size()){
        int t=heap.top();
        heap.pop();

        int distance=t.first,ver=t.second;

        if(st[ver])continue;

        st[ver]=true;

        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){
            int j=e[i],c=w[i];
            if(dist[j]>distance+c){
                dist[j]=distance+c;
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
    
}
int main(){
    //链表初始化
    memset(h,-1,sizeof(-1));
    
    cin>>n>>m>>s;
    int a,b,c;
    while(m--){
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    dijkstra();

    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<dist[i]<<" ";
    }

    return 0;
}

Bellman_Ford

利用结构体存储 O(n*m)

松弛操作
两层循环

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//N为最大节点的个数
int n,m,a,b,w;
int dist[N];//存储到第一节点的距离
int backup[N];
struct Egde{
    int a,int b,int w;
}edges[M];//M为最大边数
void bellman_ford(){
    memset(dist,-1,sizeof(dist));
    for(int i=0;i<k;i++){//题干中最大步数k
        memcpy(backup,dist,sizeof(dist));
        for(int j=1;j<=m;j++){//开始拓展
            int a=edges[j].a,b=edges[j].b,w=edges[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);       
        }
    }
}
//主函数
cin>>n>>m>>k;
for(int i=0;i<m;i++){
    cin>>a>>b>>w;
    edges[i]={a,b,w};
}
bellman_ford();
if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2){//为什么不是0x3f3f3f3f3f呢
    //存在负权时 (+∞-w)<+∞ dist[]的值可能会被更新为比+∞小一点的数
    cout<<"impossible"<<endl;
}
else{
    cout<<dist[n];
}

目的是实现三角不等式即

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dist[b]<=dist[a]+w;

SPFA

利用BFS优化松弛操作 O(m)~O(n*m)

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const int N=1e5+5;
int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx;
int add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b;
    w[idx]=c;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
void spfa(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    queue<int>q;
    q.push(1);

    dist[1]=0;
    st[1]=true;

    while(q.size()){
        int t=q.front();
        q.pop();

        st[t]=false;

        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
            int j=ne[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j]){
                    q.push(j);
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    memset(h,-1,sizeof(h));
    //省略输入...

    if(dist[n]==0x3f3f3f3f){
        cout<<"impossible<<ednl;
    }
    else{
        cout<<dist[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

可以用来判断是否存在重环和自环

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void spfa(){
    queue<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q.push(i);
        st[i]=true;
    }

    while(q.size()){
        int t=q.front();
        q.pop();

        st[t]=false;
    }
    return false;
}

Floyd

邻接矩阵存储 不能出现负权回路 O(n^3)

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const int INF=1e9;
int n,m,k;//n是节点的个数 m是边数
int a,b,w;
int g[N][N];
void floyd(){
    for(int k=1;k<=n;k++){//寻找i和j之间的节点 且满足经过k的路径更短
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
            }
        }
    }
}
int main(){
    //初始化
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==j){
                g[i][j]=0;
            }
            else{
                g[i][j]=INF;
            }
        }
    }
    //输入操作

    while(m--){
        cin>>a>>b>>w;
        //重边保留边权最小的
        g[a][b]=min(g[a][b],w);
    }

    floyd();
    //处理数据
    while(k--){
        cin>>a>>b;
        //出现负权边 可能更新距离后比INF略小
        if(g[a][b]>=INF/2){
            cout<<"impossible"<<endl;
        }
        else{
            cout<<g[a][b]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}